دانشگاه يزد
دانشکده مهندسي معدن و متالورژي
پايان نامه
براي دريافت درجه کارشناسي ارشد
مهندسي معدن-گرايش فرآوري مواد معدني
بررسي و اصلاح سيستم نمونهبرداري و موازنهي جرم در کارخانهي فرآوري مگنتيت گلگهر سيرجان
استاد راهنما: دکتر رضا دهقان
استاد مشاور: دکتر علي دهقاني
پژوهش و نگارش: سيد علي حسيني
اسفندماه 92
چکيده
کارخانهي فرآوري مگنتيت مجتمع گلگهر سيرجان، شامل سه مدار خردايش خشک و طبقهبندي، جدايش مغناطيسي خشک و خردايش و جدايش مغناطيسي تر ميباشد که تناژ خوراک ورودي به کارخانه 450 تن بر ساعت و تناژ کنسانتره نهايي (کنسانتره تر و خشک) آن، 200 تن بر ساعت است. تعداد گرهها و جريانها به منظور موازنه جرم در مدار خردايش خشک و طبقه بندي و جدايش مغناطيسي خشک به ترتيب 4 و 8 عدد و در مدار خردايش و جدايش مغناطيسي تر، به ترتيب، 9 و 16 عدد ميباشد. در اين تحقيق، ابتدا نرخ جريانهاي نامعلوم، با استفاده از دادههاي به دست آمده از طريق نمونه برداري دستي از جريانهاي قابل دسترسي در حالت پايدار و در شيفتهاي مختلف کاري کارخانه، محاسبه و سپس با استفاده از تکنيک سازگارکردن دادهها، نتايج به دست آمده تصحيح و در نهايت وزن جزء نمونهها و پارامترهاي سيستم نمونهبرداري بهينه محاسبه شده است. مسئله سازگارکردن دادهها در اين تحقيق، غيرخطي ميباشد. پس از موازنه جرم، سازگار کردن و تصحيح مقادير عيار و تناژ اندازهگيري شده، با استفاده از رويکردهاي مختلفي شامل حل معادلات ماتريسي در نرم افزار متلب با استفاده از روشهاي تحليلي خطي و عددي غيرخطي کلاسيک و فرا ابتکاري (همچون الگوريتم ژنتيک و روش ترکيبي)، روشهاي دو خطي کرو، ماتريس پروژکشن و سيمپسون (با استفاده از جريانهاي اندازهگيري نشده 1، 3، 11 و 14) و روش تصحيح دادهها در نرم افزار موازن براي تشخيص دادههاي پرت و حذف آنها، انجام شده است. در ادامه، براي نقاط مهم و ضروري در مدار فرآوري مگنتيت، وزن، تعداد و فاصلهي زماني اخذ جزء نمونهها، با استفاده از روش واريوگرام، محاسبه شده است. در اين تحقيق، نشان داده شد که روش ترکيبي براي هر سه مدار کارخانه، بهترين نتايج کمينه سازي را در بر دارد به عنوان مثال، مقدار ماکزيمم خطاي برقراري شروط، با روش ترکيبي براي مدار خردايش و جدايش مغناطيسي تر از 730/1310 به 12-10×364/1 واحد، کاهش يافت. به علاوه، مقدار بازيابي تخميني کل در مدار خردايش و جدايش مغناطيسي تر، از 93/86 درصد به 22/96 درصد افزايش يافت.
کلمات کليدي: موازنهي جرم، سازگارکردن دادهها، روش ترکيبي، وزن جزء نمونه، سيستم نمونه برداري، گلگهر.
فصل اول
مروري بر روشهاي سازگارکردن دادهها و محاسبات نمونهبرداري
1- مقدمه
در کارخانههاي کانهآرايي، اعتبار دادههاي اندازهگيري شده و جامع بودن آنها، نقش اساسي در ارزيابي صحيح از سيستم ايفا ميکند؛ به طوري که دادههاي نامعتبر ممکن است مسئولين را به کلي در تصميمگيريها دچار اشتباه نمايد. از طرفي، در يک کارخانه فرآوري، اندازهگيريها همواره داراي خطا هستند؛ از اين رو لازم است قبل از استفاده دادههاي اندازهگيري شده تصحيح شوند. به علاوه، در بسياري اوقات، اندازهگيري برخي دادهها، از جريانهاي کارخانه، به لحاظ برخي محدوديتهاي فني يا اقتصادي، امکان پذير نميباشد. به عنوان مثال، در اغلب کارخانههاي فرآوري، اکثر نرخهاي جريان1، اندازهگيري نميشوند؛ لذا مقادير اين گونه دادهها بايد به نحوي تخمين زده شوند ]1[. به طور کلي، دادههاي اندازهگيري شده و اندازهگيري نشده، هر کدام، به دو دسته تقسيم ميشوند ]2[:
1- دادههاي اندازهگيري شده
قابل تعديل: يک متغير اندازهگيري شده زماني قابل تعديل است که مقادير آنها ميتواند تحت نظر مدل موازنه جرم به صورت بهينه اصلاح شود (افزونه2) که اصطلاحأ افزونگي دادهها ناميده ميشود.
داده تعيين شده (غير قابل تعديل مثلأ توسط سيستمهاي توزين و…): زماني که از قبل دبي جريانها اندازهگيري شده باشد و به وسيله روش تلفيق دادهها امکان اصلاح ندارند.
2- دادههاي اندازهگيري نشده
داده قابل مشاهده3: يک داده زماني قابل مشاهده است که بتواند با استفاده از مدل موازنه جرم و مقادير اندازهگيري شده در حالت پايدار، تخمين زده شود.
داده غير قابل مشاهده4: يک داده زماني غير قابل مشاهده است که با استفاده از دادههاي اندازهگيري شده موجود و معادلات موازنه جرم در حالت پايدار، نتواند تخمين زده شود.
سازگارکردن دادهها5 به عنوان بخشي از مسئلهي موازنه جرم، ممکن است تنها شامل تصحيح دادههاي معلوم (تناژ و عيار) باشد و يا اينکه قبل از تصحيح دادهها، محاسبه تناژ و عيارهاي مجهول را نيز انجام دهد]2[.
هدف از اين فصل، تشريح اهداف موازنه جرم، مزايا و روشهاي حل مسئله موازنه جرم در مدارهاي فرآوري و بيان روشهاي مختلف سازگارکردن دادهها به صورت پايا6 است. يک واحد عملياتي نسبت به متغيرهاي عملياتي در حالت پايا است؛ اگر متغيرهايش با زمان تغيير نکنند. به عنوان مثال در يک واحد خردايش در حالت پايا، نبايد توزيع ابعادي خوراک و دبي آن، نسبت به زمان نوسان داشته باشد. اگر گفته شود، آسيا در حالت پايا کار ميکند، نبايد هيچ متغير عملياتي آسيا، نسبت به زمان تغيير کند و بنابراين، محصول آسيا نيز بايد با دبي و توزيع ابعادي ثابتي به دست آيد. در روشهاي پايا که موضوع اين تحقيق است، بسته به شکل معادله شرط، مسئله سازگارکردن ممکن است به صورت خطي7، دو خطي8، يا غيرخطي9 باشد. با توجه به اينکه شروط لازم براي حل مسئله سازگارکردن دادهها به صورت معادله يا نامعادله نوشته ميشوند، ميتوان اين شروط را به صورت زير تفکيک کرد]2[:
1- معادله (شروط مساوي)
بقاي جامد: با توجه به اينکه اين شرط، به صورت حاصلضرب ماتريس ارتباط10 گره و جريان، در ماتريس تناژهاي جامد که يک متغير محسوب ميشود، نوشته ميشود، خطي ميباشد.
بقاي فلز: به صورت حاصلضرب ماتريس ضرايب در ماتريس تناژها و عيارها (هر دو متغير) نوشته ميشود و بنابراين دو خطي محسوب ميشود.
2- نامعادله: در نظر گرفتن شروط به صورت يک نامساوي.؛ به عنوان مثال عيار جريان خوراک کوچکتر يا مساوي عيار جريان کنسانتره باشد. به طور کلي شروط نامساوي، حل مسئله سازگارکردن دادهها را غيرخطي ميکنند. بنابراين با دخيل کردن نامعادلات به عنوان شروط نامساوي حالت غيرخطي پيش ميآيد. با توجه به مفاهيم فوق، مسئله سازگارکردن دادهها زماني خطي است که مدلها خطي بوده و همهي متغيرها اندازهگيري شده باشند، يا متغير اندازهگيري نشده نيز وجود داشته باشد. در حالتي که متغيرها اندازهگيري نشده باشند، اصطلاحأ خطي سازي11 براي سادهتر شدن حل مسئله سازگارکردن دادهها، انجام ميشود که در ادامه به تفصيل مورد بررسي قرار گرفته است.
مسئله، زماني دو خطي است که همزمان از دو متغير تناژ جامد و عيار در تابع شرط به صورت حاصلضرب دو متغير، استفاده شود. بنابراين روش دو خطي يک نوع روش غيرخطي نيز محسوب ميشود و زماني غيرخطي است که شروط نامساوي يا نامعادلات در مسئله وجود داشته باشند]2[.
در اين تحقيق، روشهاي مورد استفاده براي سازگارکردن دادههاي اندازهگيري شده در حالت پايا و به روش غيرخطي عبارتند از: روشهاي تحليلي، کلاسيک، فرا ابتکاري (الگوريتم ژنتيک و روش ترکيبي). هر کدام از اين روشها، شروطي براي حل مسئله به روش عددي در نظر گرفته و سعي در کمينه کردن تابع مجموع مربعات يا تابع هدف12 و مينيمم کردن خطاي برقراري شروط13 به منظور سازگارکردن دادهها يا خطايي که به ازاي آن شروط در حل مسئله کمينهسازي برقرار ميشوند، را دارند. در مرحله بعد با در نظر گرفتن دادههاي اندازهگيري نشده، سازگارکردن دادهها با استفاده از روشهاي دو خطي کرو، ماتريس پروژکشن و سيمپسون14 انجام ميشود. لازم به ذکر است که روش کرو و سيمپسون با استفاده از خطي سازي مناسب، مسئله را حل ميکنند.
به منظور بررسي ميزان حساسيت موازنه جرم به دادهها با توجه به محتواي اطلاعاتي آنها، انواعي از آناليز حساسيت دادههاي سازگار شده با استفاده از مقدار تصحيح استاندارد شده دادهها و ميزان اريب بودن و انحراف دادهها از حالت استاندارد]1[، نيز در اين فصل معرفي شده است. همچنين در اين فصل روش واريوگرام به منظور تعيين تعداد جزء نمونههاي لازم در قسمتهاي مختلف مدارهاي فرآوري، با در نظر گرفتن سطح اطمينان مهندسي و تعيين خطاي روشهاي نمونه برداري مختلف، اعم از سيستماتيک، رديفي تصادفي و تصادفي]3[، معرفي شده و در پايان مثالهايي ارائه شده است.
براي کنترل عمليات و تنظيم آن در يک کارخانه کانهآرايي و به منظور دستيابي به شرايط مناسب، لازم است بار موجود در مسيرهاي مختلف کارخانه، طبق برنامه از نظر کيفي و کمي تحت بررسي قرار گيرد. اين امر مستلزم در اختيار داشتن نمونههايي است که معرف بار موجود در آن مسيرها باشند ]1[. در تمامي کارخانههاي فرآوري مواد معدني، نمونهبرداري صحيح از جريانهاي مختلف کارخانه، راهي متداول و شناخته شده براي آگاهي از نحوهي توزيع و کيفيت مواد معدني، در بخشهاي مختلف کارخانه است و معمولاً اطلاعات و دادههاي بدست آمده از نمونهبرداري، مبناي هر گونه تصميمگيري و اقدامات بعدي براي افزايش بهرهوري و کارآيي کارخانه ميباشد. لذا موفقيت عملياتهايي از قبيل مدلسازي، کنترل، عيبيابي، بهينهسازي و ….، به طور مستقيم به چگونگي نمونه برداري و سطح اطمينان دادههاي بدست آمده از عمليات نمونه برداري بستگي دارد. بنابراين در اجراي هر نوع نمونهگيري از کارخانههاي کانهآرايي، بايد ضمن آگاهي از انواع مختلف خطاهاي نمونه برداري که ممکن است در مراحل مختلف و به دلايل متفاوت بروز کند، دقت شود تا حتيالامکان از بروز خطاي فاحش15 جلوگيري شود، تا اطلاعات حاصله داراي صحت کافي باشند و بتوان با اطمينان بر اساس آنها تصميمهاي لازم را اتخاذ نمود ]1[.
با پيشرفت روشهاي کامپيوتري و ابزارهاي نمونهبرداري و اندازهگيري در اکثر کارخانههاي فرآوري مواد معدني، معمولاً حجم زيادي از دادهها در هر شيفت جمعآوري ميشوند. براي استفاده بهينه از اين اندازهگيريها، لازم است تا يک سري روشهاي رياضي و آماري، به کار گرفته شوند تا علاوه بر تصحيح مقادير اندازهگيري شده، متغيرهاي اندازهگيري نشده نيز از طريق مقادير اندازه گيري شده، تخمين زده شوند؛ به عبارت ديگر، در اين روشها دادههايي که از منابع مختلف (آزمايشگاه، سيستمهاي اندازهگيري برخط16 يا دستي17) حاصل ميشوند، پردازش شده و به اطلاعات با اعتبار بيشتر، تبديل ميشوند. از اين اطلاعات ميتوان به منظور مديريت بهتر کارخانه، کنترل و بهينهسازي عمليات، مدلسازي فرآيندها، بررسي عملکرد تجهيزات مختلف، تعمير حسگرهاي اندازهگيري و بسياري از عمليات ديگر استفاده نمود ]1[. مهم‌ترين ويژگي دادههاي اندازهگيري شده از يک مدار فرآوري مواد معدني، موازنه بودن آنها است؛ ولي اغلب به دلايل مختلف، از جمله، عدم پايداري18 سيستم، هنگام نمونهبرداري، وجود خطا در مراحل مختلف نمونه برداري، آمادهسازي و آناليز نمونهها، اين امر حاصل نميشود. در يک روش موازنهي جرم جامع، ابتدا با توجه به متغيرهاي اندازهگيري شده و قيدهاي بقاي جرم، متغيرها، طبقه بندي شده و مسئله به چند مسئله کوچک‌تر افراز ميشود. سپس خطاهاي سيستماتيک که روشهاي آماري تصحيح دادهها را بي اعتبار ميسازند، مشخص شده و دادههاي داراي اين نوع خطا، مورد بازبيني مجدد قرار گرفته و يا از مجموعه دادههاي دخيل در موازنهي جرم، حذف ميشوند. در نتيجه، مقادير اندازهگيري شده، تصحيح و متغيرهاي اندازهگيري نشدهي تناژ و عيار، تخمين زده ميشوند ]1[.
کارخانه فراوري مواد معدني از تعداد زيادي واحدهاي به هم پيوسته در شبکه پيچيدهاي از جريان‌ها تشکيل شده است. در اين کارخانهها، اندازهگيريهاي دبي جرمي جريان مواد و کسرهاي جرمي انواع گونهها، معمولاً به منظور کنترل و ارزيابي عملکرد فرايند انجام ميشود. انتظار مي‌رود اين اندازهگيريها، معادلات قيد بقاي جرم، در حالت پايدار فرآيند را ارضا نمايند ]4[. با اين حال، به دليل وجود خطاهاي تصادفي يا سيستماتيک در داده‌هاي فرآيند، اين قيود به طور کامل برآورده نميشوند. سازگار کردن دادهها يک تکنيک شناخته شده است که با توجه به موازنه مواد و انرژي و از طريق برآورد متغيرهاي اندازهگيري نشده، تخمين‌هايي را ارائه ميکند ]5و6[.

1-2- سازگارکردن دادهها در حالت پايا
1-2-1- سازگارکردن در حالت خطي
خطاي اندازهگيري ناشي از تغييراتي مانند به هم چسبيدن ذرات، توسط جي19براي روشهاي مختلف نمونهبرداري (تصادفي، رديفي و سيستماتيک) مورد مطالعه قرار گرفته است. جي اين خطا را، خطاي تلفيقي ناميده است. در اين قسمت، روشهاي سازگارکردن دادهها براي تصحيح خطاهاي تلفيقي همبسته20 به کار ميروند. معمولأ، مشکل در کارخانههاي پيچيدهاي به وجود ميآيد که برخي از متغيرهاي فرآيند با توجه به ملاحظات فني و صنعتي، قابل اندازهگيري نيستند. هنگاميکه دادهها قابل تعديل باشند، با توجه به مجموعهاي از معادلات که بيانکننده قيدهاي بقاي جرم مواد هستند، اين امکان وجود دارد که با استفاده از روشهاي مناسب سازگارکردن داده، خطاهاي اندازهگيري تصحيح و به طور همزمان متغيرهاي اندازهگيري نشده فرآيند تخمين زده شود. اين کار معمولاً با استفاده از روش حداقل مربعات وزندار و مقيد، قابل انجام است. اگرچه فرض ناهمبسته بودن خطاها خيلي اوقات درست است، اما اين فرض همواره صحيح نيست. روش آناليز مواد يا خود دستگاه اندازهگيري به خودي خود ممکن است منجر به ايجاد همبستگي بين خطاهاي اندازهگيري شود. به عنوان مثال در آزمايش سرندي، خطاها همبسته ميباشند، زيرا باقي ماندن نادرست مواد بر روي يک سرند، لزومأ باعث از دست رفتن مواد روي سرند بعدي ميشود. روش‌هايي که در آن فلزات مختلف، به طور همزمان در يک نمونه مورد آناليز قرار ميگيرند، نيز ممکن است منجر به همبستگي خطاها شوند. در صورت وجود تغييرات همبسته در متغيرهاي فرآيند، طرح نمونه‌برداري از جريان ممکن است موجب بروز همبستگي قابل توجهي در خطاهاي اندازهگيري شود که موضوع اين تحقيق نيست و فرض بر اين است که کليه واحدهاي عملياتي در حالت پايا هستند. هنگام نمونهبرداري از يک کارخانه فرآوري مواد معدني براي تخمين شرايط عملياتي پايدار، يکي از منابع عمده، خطاي اندازهگيري وابسته به تغييرات متغيرهاي جريان است. اين خطا در مورد ذرات ريزي که مقدار خطاي بنيادي براي آن‌ها ناچيز است، سهم عمدهاي ايفا ميکند. در مورد نمونهبرداري سيستماتيک (موضوع اين تحقيق)، واريانس خطاي تلفيقي براي يک جزء (گونه)21 موجود در جريان مورد نظر، و يا شبکه‌اي از جريانهاي نمونهبرداري شده، محاسبه شده است. همبستگيهاي ناشي از واحدهاي عملياتي فرآيند و همچنين ناشي از همبستگي بين اجزاي کانه، بين خطاهاي تلفيقي اندازهگيري، همبستگي ايجاد ميکنند]4[.
همبستگي از يک گونه به گونه ديگر و همچنين از يک جريان به جريان ديگر وجود دارد. تنها متغيرهاي فرايند که در اين مبحث در نظر گرفته ميشود، دبي گونهها درجريانهاي مختلف است. استفاده از دبي گونهها به جاي دبي جريان کانه و عيار اجزاء در آن کانه، باعث ميشود تا ضمن اجتناب از ضرب کردن دبي جريان‌ها در کسر جرمي گونه‌ها، معادلات موازنه جرم به صورت خطي ارائه شوند. اين ساده سازي مسئله دو خطي، باعث شفافتر شدن روش و اهداف اين قسمت ميشود. فرض ميشود که دبي گونهها متغيرهاي فرآيندي گسسته بوده و سيستم فرآوري مواد معدني در طول زمان NT که در آن T دوره زماني گسسته و N تعداد کل نرخهاي جريان در فاصله زماني مشاهده شده ميباشد، مورد بررسي قرار گرفته است]4[. فلوشيت شکل 1-1، شامل تعداد P جريان بوده و کانه از m جزء تشکيل شده است که در اين صورت متوسط دبيهاي واقعي اجزاء (y?kj) در جريانهاي مختلف آنها به صورت زير قابل ارائه ميباشد (k = 1-P , j = 1- m) ]4[:

شکل 1-1: فلوشيت يک کارخانهي فرآوري ]7[
معادله قيد بقاي جرم در فاصله زماني [0-NT] براي هرگونه j به صورت زير نوشته ميشود ]4[:
که در آن M ماتريس ارتباط وابسته به شبکهي فلوشيت کارخانه، y_j^* بردار مربوط به ميانگين دبي گونهها ??و aj بردار مربوط به متوسط دبي?? مواد در فاصله NT، يا عدم موازنه حول گره است. هنگاميکه عملکرد سيستم در فاصله زماني NT ثابت است، y_j^* ميتواند توسط قيد حالت پايدار (برقراري موازنه جرم)، يعني y ?_j به صورت زير جايگزين شود ]4[:
در اينجا، فرض بر اين است که دبي گونهها، براي برخي از جريانهاي کارخانه اندازهگيري شدهاند. اين دبيها، با متوسطگيري از مقادير فاصلهدار n (که داراي فواصل مساوي هستند) درفاصلهي NT، به دست آمدهاند. N لزومأ مضربي از n ميباشد. در عمل روشهاي مختلفي براي چنين اندازهگيريهايي، بسته به ابزار موجود در دسترس، وجود دارد: 1- ترکيب کردن جزء نمونه ها و آناليز يک نمونه مرکب يا 2- اندازهگيري متغيرها در همه جزء نمونههاي منفرد. طبق قوانين رياضي نتيجه يکسان است، و ميتوان مقادير اندازهگيري شده vj را به مقادير واقعي y_j^* نسبت داد]4[:
که در آن Hماتريس مشاهده22 است که از بردار y_j^*، تنها جريانهايي که اندازهگيري مي شوند را استخراج ميکند. خطاهاي اندازهگيري به دو بخش تفکيک ميشوند: خطاي تلفيقي ?_j و ساير خطاها (بنيادي، استخراج جزء نمونه و آماده سازي و آناليز) که توسط جي، به صورت يکجا در بردار wj جمع شدهاند. فرض بر اين است که ساير خطاها، وابسته به خطاي تلفيقي نيستند. خطاي تلفيقي، که در بيشتر موارد، خطاي اصلي فرض ميشوند، به عنوان مثال، وابسته به تغييرات دانه بندي گونههاي موجود در جريان بوده و همانطور که توسط ميرعابديني (1998)23 نشان داده شده است، همبسته با آن ميباشد ]4[. واريانس خطاي تلفيقي، به تعداد جزء نمونهها و دورهي زماني نمونهبرداري بستگي دارد. در نظريهي احتمالات، کواريانس24، اندازهي تغييرات هماهنگ دو متغير تصادفي است. (اگر دو متغير يکي باشند، کواريانس برابر واريانس خواهد شد). کواريانس به صورت زير تعريف مي‌شود ]8[:

تابع کواريانس، رابطهي خطي ميان دو متغير (x و y) را بر طبق فرمول فوق اندازه‌گيري مي‌کند. اين تابع براي نشان دادن همبستگي بين دو متغير عيار و دانه بندي به کار مي‌رود، مثلأ بيان ميکند که هر چه ذرات ريزتر شده و به درجه آزادي بالاتري برسند، عيار بالاتر ميرود و بنابراين کواريانس بيشتر ميشود. به طوري که از نظر رياضي هم اين وابستگي وجود دارد ]8[:

اين رابطه بيانگر اين است که تا مفهوم کواريانس درک نشود، ضريب همبستگي معنايي ندارد. در بخشهاي بعدي با ذکر مثال، بديهي بودن اين مسئله مشخص خواهد شد ]8[.
سازگارکردن دادهها شامل تخمين نرخ جرياني است که معادلهي (1-3) را برقرار ميسازد. سازگارکردن دادهها از طريق تخمين دبيهاي اندازهگيري شده و اندازهگيري نشده y ?_j، به گونهاي انجام ميشود که تابع هدف درجهي 2 ارائه شده در معادلهي (1- 7) تحت شروط ارائه شده در معادلهي (1- 8) کمينه شود ]4[:
ماتريس وزني Q، براي تخمين ماکزيمم درستنمايي y ? که v_? واريانس خطاي تلفيقي و W واريانس خطاي wj مي‌باشد، بايد به صورت معکوس واريانسهاي اندازهگيري زير انتخاب شود ]4[:

تخمين زدن v_? و W مشکل است، اما روش سازگارکردن داده هنگامي که مقادير تقريبي براي Q در معادله (1-7) به کار برده شده است، ممکن است متغيرهاي خوبي را ارائه کند.
هنگاميکه بيشتر از يک نوع گونه وجود دارد، v_? شامل عبارات زير است ]4[:

که در آن، V_(?_(i ) ?_j ) نشان دهندهي کوواريانسي است که بين خطاهاي تلفيقي وابسته به گونه هاي مختلف، در جريانهاي يکسان و يا متفاوت، وجود دارد. معمولأ، ميتوان براي خطاي w، واريانس W را به صورت يک ماتريس قطري در نظر گرفت، به اين ترتيب فرض ميشود که هيچ همبستگي بين آنها وجود ندارد. هنگامي که شرايط V_(?_i ?_j ) براي j?i ناديده گرفته ميشود، مينيمم کردن تابع هدف، موضوعي است که با از بين رفتن قيود بقاي جرم، به صورت مسائل بهينهسازي مستقل m، مشروط بر اينکه وابستگي بين دبي گونههاي مختلف وجود ندارد، مورد مطالعه قرار ميگيرد. تفکيک بردار y دبي گونهها، به دو بردار u و v، به ترتيب، نشان دهندهي دبي گونههاي اندازهگيري شده و اندازهگيري نشده است. معادلهي قيد بقاي جرم (1-3)، ميتواند به صورت زير مرتب شود]4[:

A_1 v ?=0
A_1 v ?+A_2 u ?=0
که در آن، A1 و A2 به ترتيب، قابل تعديل بودن و مشاهده پذيري دادهها را در دو حالت اندازهگيري شده و اندازهگيري نشده، مشخص ميکند. حل معادلات (1-7) و (1-11)، منجر به تخمين مقدار سازگار شده زير که وابسته به y ميباشد، مي‌شود ]4[:
v ?=v-Q^(-1) A_1^T (A_1 Q^(-1) A_1^T )^(-1) Av
u ?=A_2^(-1) [?A_12 Q^(-1) A_1^T (A_1 Q^(-1) A_1^T)?^(-1) A_1-A_12 ]v
راه حل جايگزين براي حل مسئلهي سازگارکردن دادهها، توسط معادلات (1- 7) و (1- 8)، به صورت نسبت دادن واريانسهاي بسيار بزرگ به متغيرهاي اندازهگيري نشده تعريف شده است. اگر چه، اين راه حل از نظر رياضي، کمي از معادلات (1- 12) و (1- 13) سختتر است؛ اما، نتايج مشابهي را ارائه ميدهد و برنامه نويسي، به صورت الگوريتم را ساده ميکند ]4[.
روشهاي رياضي متعددي براي بهينهسازي مسائل مهندسي وجود دارد. يکي از پرکاربردترين اين روشها روش لاگرانژ است که اين تکنيک در سازگارکردن دادهها به روشهاي مختلف به طور گسترده استفاده شده است. به عنوان مثال با کاربرد روش لاگرانژ براي موازنه يک جداکننده دو محصولي، رابطه زير وزن بهينه کنسانتره (C?) را با استفاده از دادههاي قابل تعديل محاسبه ميکند[9]:
که در رابطه 1-14، fk، مقدار عنصر kام در خوراک، ck، مقدار عنصر kام در کنسانتره و tk، مقدار عنصر kام در باطله ميباشد.

1-2-1-1- سازگارکردن درحالت خطي با روش حل تحليلي25 مسئله بهينهسازي
مسئله بهينهسازي بالا با استفاده از روش ضرايب لاگرانژ قابل حل است، به همين منظور، لاگرانژين L، به صورت زير تعريف ميشود ]10 [:

L = J(X) + 2?_(k=1)^n???_k (امk قيد)?
که در آن، J(x)، تابع هدف کمينهسازي و 2?، ضريب لاگرانژ مربوط به قيد بقاي جرم عنصر kام ميباشد. بنابراين، براي مسئلهي کمينهسازي فوق، ميتوان عبارت لاگرانژين را به صورت زير نوشت ]10[:
L =(y-y ? )^T V^(-1) (y-y ?)-2??(??^T Ay ?)?^T
که در آن، y يک ماتريس M?1 از مقادير اندازهگيري شده براي M متغير فرآيند، y ?، يک ماتريس M?1 از تخمينها (مقادير سازگار شده تناژها) براي M متغير فرآيند، V ماتريس واريانس و A ماتريس ارتباط گره و جريان است. به منظور به دست آوردن کمينهي عبارت لاگرانژين، بايد مشتق اين عبارت، نسبت به مجهولات را برابر صفر قرار داد ]10[:
?L/(?y ? )=-2V^(-1) (y-y ? )-2A^T ?=0
?L/??=A^T y ?^T=?(Ay ?)?^T=0?Ay ?=0
با ضرب طرفين عبارت 1- 17، در ماتريس واريانس V، عبارت زير حاصل ميشود ]10[:
(y-y ? )+VA^T ?=0
اکنون، ضمن ضرب طرفين رابطهي 1-19، در ماتريس ارتباط (A)، ميتوان نوشت، Ay ?=0 و در نتيجه رابطهي زير، به دست ميآيد ]10[:
Ay + AVA^T ?=0
با مرتب نمودن رابطهي 1- 20، عبارت زير، حاصل ميشود ]10[:
?= ?-(AV^(-1) A^T)?^(-1) Ay
که با جايگذاري مقدار ? در رابطهي 1-17، و مرتب نمودن عبارت حاصله، در نهايت، مسئلهي کمينهسازي به بردار دادههاي سازگار شدهي زير، منجر ميشود ]10[:
y ?=y-VA^T ?(AVA^T)?^(-1) Ay
رابطه 1- 22، راه حل اصلي براي سازگارکردن دادهها در يک مسئله حالت پايدار خطي مي باشد. پس از به دست آمدن ماتريس تناژ جريانهاي مجهول يا مقادير اندازهگيري شدهي تناژ، (رابطه 1-18)، براي پي بردن به اين نکته که دادهها تا چه حد از قوانين ساده موازنه جرم پيروي ميکنند، بايستي طبق رابطه (1-22)، تصحيحاتي را روي نتايج موازنه جرم به دست آمده انجام داد ]10[. براي اين منظور، فلوشيت شکل 1-2، به عنوان مثالي در نظر گرفته شده است ]10[.

شکل1-2: شبکه جريانهاي يک برج خنک کننده ]10[

ماتريس ارتباط A، براي 6 جريان موجود در فلوشيت شکل 1-2، به صورت زير نوشته ميشود ]10[.

ماتريس V، يک ماتريس قطري است که مقادير واريانس جريانهاي فلوشيت، در آن قيد شده است ]10[.

در ادامه، با استفاده از رابطهي 1- 22، مقادير سازگار شده، براي تناژهاي اندازهگيري شده به دست خواهد آمد که ستون چهارم جدول 1-1 را تشکيل ميدهد ]10[:

جدول1-1: سازگارکردن دادهها براي شبکه جريانهاي سيستم خنک کننده]10[
شماره جرياناندازهگيري خام (کيلوتن/ساعت)انحراف معيار (کيلوتن/ساعت)مقدار جريان سازگار شده (کيلوتن/ساعت)مقدار تعديل شده(کيلوتن/ساعت)15/11082/024/10326/7-28/6053/042/6562/430/3546/082/3782/249/6871/042/6548/3-56/3845/082/3778/0-64/10120/124/10384/1 در ادامه، تنها به روش تصحيح عيارهاي مربوط به کل جريانهاي مدار، به صورت تحليلي اشاره شده است. از آنجاکه به طور مستقيم نميتوان تصحيح عيارها را انجام داد، با استفاده از رابطه زير (حاصل از قسمت اول رابطه 1-16)، تناژ فلز تصحيح شده، تعيين ميشود [11]:
X ?=inv(C)*(I-A^T*inv(A*inv(C)*A)*A*inv(C))*I^T*inv(V)*X_m , X_m=C*X
C=I^T*inv( V)*I+ A^T*A

در رابطه 1-25، X ? ماتريس دبي فلز تصحيح شده، Xm، ماتريس حاصلضرب عيار هر جريان در تناژ (دبي) تصحيح شده، C ماتريس مشاهده براي زماني است که جريان اندازهگيري نشده در فلوشيت وجود داشته باشد و V ماتريس واريانس مربوطه ميباشد که با استفاده از رابطه زير، تعريف ميشود [11]:
V=(?X/?V)^2 V_y ? +((?y ?)/?V)^2 V_x(1-26)
که در رابطه 1-26، X، عيار هر کدام از جريانها، V_y ? ، واريانس تناژهاي تصحيح شده، y ?، تناژهاي تصحيح شده و Vx، واريانس عيارها ميباشد [11].
پس از تعيين ماتريس دبي فلز تصحيح شده، تمامي آرايههاي مربوطه، بر آرايههاي مربوط به ماتريس تناژهاي تصحيح شده تقسيم ميشود تا ماتريس عيارهاي تصحيح شده به دست آيد؛ بنابراين، با استفاده از اين روش، موازنهي فلز، نيز بين تمامي جريانهاي ورودي و خروجي از هر گره و نيز بين جريانهاي ورودي به مدار و خروجي از آن نيز برقرار است [11].
مفهوم واريانس جريانهاي سازگار شده (يا تأثير کواريانس روي کاهش واريانس)، در ابتدا به صورت تابعي از ماتريس کواريانس متغيرهاي جريان بيان ميشود]4[. ماتريس کواريانس، تابعي از فاصله بين مشاهدات است؛ يعني کواريانس بين xi و xi+h، فقط به h که نشان دهنده تأخير زماني در فاصله زماني مشخص است، بستگي دارد. براي دادههايي که از n نقطه مختلف نمونه برداري به دست آمدهاند (x1، ,x2…)، يک ماتريس n×p، تحت عنوان ماتريس کواريانس تعريف ميشود ]8[:

نمونهها از n نقطه يا n جريان مختلف برداشته شدهاند. ماتريس کواريانس حاصل از دادههاي تشکيل دهنده ماتريس A، در رابطه 1-27، از رابطه زير به دست ميآيد ]8[:

(1-28)
در رابطه 1-28، AT ترانهادهي ماتريس A ميباشد.
از ديگر خواص تابع کواريانس اين است که با استفاده از آن ميتوان، واريانس دادههاي سازگار شده را به دست آورد. اين خاصيت با کدنويسي در نرم افزار متلب26 و انجام محاسبات مربوطه، ارائه شده است.
پس از اينکه، دادههاي مربوط به هر جريان از طريق نمونهبرداري به دست آمد، موازنهي جرم مدار، به منظور تعيين دبي جريانهاي مجهول انجام ميشود. ماتريس Y، به مقادير دبيهاي 6 جريان موجود در فلوشيت شکل 1-2 نسبت داده ميشود، پس ميتوان نوشت ]10[:

همانطور که در قسمت فوق اشاره شد، با استفاده از تابع کواريانس ميتوان، براي مقادير سازگار شده نيز واريانس در نظر گرفت. با فرض اينکه، I يک ماتريس هماني براي شبکه فوق باشد، واريانس مقادير سازگار شده از رابطه زير به دست ميآيد ]10[:

W = [I – VAT(AVAT)-1A] (1-30)
Cov(WY) = W.V.WT (1-31)
در رابطه 1-30، ماتريس I يک ماتريس هماني قطري ميباشد ]10[:
بنابراين ماتريس کواريانس براي فلوشيت فوق به صورت زير به دست ميآيد ]10[:
ذکر اين نکته ضروري است که ماتريس کواريانس جريانهاي سازگار شده، متقارن ميباشد و مقادير قطري ماتريس، نشان دهنده واريانس دادههاي سازگار شده و ساير عناصر بيان کننده همبستگيها ميباشند. لازم به ذکر است که واريانس مقادير سازگار شده، کمتر از واريانس مقادير اندازهگيري شده است. در ستون آخر جدول 1-2، انحراف معيار مقادير سازگار شده، ارائه شده است]10[.

جدول1-2: واريانس جريانهاي سازگار شده ]10[
شماره جرياناندازهگيري خام (کيلوتن/ساعت)انحراف معيار (کيلوتن/ساعت)مقدار جريان سازگار شده (کيلوتن/ساعت)انحراف معيار(کيلوتن/ساعت)15/11082/024/10342/028/6053/042/6537/030/3546/082/3730/049/6871/042/6537/056/3845/082/3730/064/10120/124/10342/0
1-2-2- سازگارکردن در حالت دو خطي
1-2-2-1- سازگارکردن با استفاده از تکنيک دو مرحلهاي کرو27 به کمک خطي سازي
وجود متغيرهاي دبي و عيار اندازهگيري نشده عواقب جزيي را در روش کرو دارد. بسته به اندازه گيريهاي انجام شده، جريانها ميتوانند به صورت زير به دو دسته تقسيم شوند[2]:
دستهي اول: وجود جريانهايي با دبيهاي اندازهگيري شده و برخي يا همهي عيارهاي اندازهگيري نشده.
دستهي دوم: وجود جريانهايي با دبيهاي اندازهگيري نشده و برخي يا همهي عيارهاي اندازهگيري نشده.
هنگاميکه دبي جريان يا عيار آن اندازهگيري نشده است، نميتوان مقدار دبي فلز آن را به دست آورد. بنابراين، يک تناظر يک به يک، بين متغيرهاي عيار و دبي فلز آنها وجود دارد و بايد در نظر داشت که اگر عيار جريان اندازهگيري نشود، صرف نظر از اينکه دبي جريان مورد اندازه گيري قرار بگيرد، آنگاه نميتوان مقدار دبي فلز را اندازهگيري کرد. منظور از دبي فلز نيز، ضرب مقدار دبي کل جريان در عيار است و روش کرو نيز مبتني بر مقادير فلز است. اگر دبيها اندازه گيري نشوند، مثل اين است که دبي فلز نيز اندازهگيري نشده است و در نتيجه، اطلاعاتي راجع به ترکيب جريان وجود نخواهد داشت. براي دوري از اين امر، روش کرو، دبيهاي جريان و دبيهاي فلز را به سه دسته تقسيم ميکند[2]:
دستهي 1: تمام جريانها و تمام اجزاي جريان مواد اندازهگيري شدهاند؛ بنابراين، اين دسته بندي تنها شامل متغيرهاي اندازهگيري شده است.
دستهي 2: تمام عيارهاي جريان اندازهگيري شدهاند، اما دبيها اندازهگيري نشدهاند. اين دسته بندي، همچنين شامل متغيرهاي اندازهگيري نشدهي جريانها است؛ بنابراين، داراي ترکيبي از متغيرهاي عيارهاي اندازهگيري شده و دبيهاي اندازهگيري نشده است.
دستهي 3: شامل دبيهاي فلز متناظر با عيارهاي اندازهگيري نشده است که ممکن است، دبي آن اندازهگيري شده يا نشده باشد. اين دسته بندي فقط شامل متغيرهاي اندازهگيري نشده است.
روش کرو يک مسئله دو مرحلهاي را انجام ميدهد. در مرحلهي اول، دبي فلز متناظر با عيارهاي اندازهگيري نشده (دستهي 3) با استفاده از يک ماتريس مشاهده حذف ميشوند. در مرحلهي دوم، دبيهاي اندازهگيري نشده (دستهي 2) با استفاده از يک ماتريس مشاهده شمارهي 2، حذف ميشوند. مقادير سازگار شده دبيهاي اندازهگيري شده، عيارهاي اندازهگيري شده در جريانها با دبيهاي اندازهگيري نشده و دبي فلز “اندازهگيري شده” به طور تکراري به دست مي آيند. با استفاده از اين مقادير سازگار شده، متغيرهاي اندازهگيري نشده دستهي 2 و 3، به طور برگشتي محاسبه ميشوند. يکي از ويژگيهاي اين روش، اين است که ماتريسهاي مشاهده ثابت هستند و در هر تکرار نياز به تخمين مجدد ندارند. از آنجا که مقادير اصلاحات مستقيمأ با دبي هاي فلز “اندازهگيري شده” به جاي عيارهاي اندازهگيري شده متناظر به طور مستقيم به دست ميآيند[2].
به منظور درک بهتر اين روش، ابتدا يک فرآيند داراي چند ترکيب (عيار و تناژ)، مانند يک فرآيند تغليظ، در نظر گرفته ميشود. اگر m واحد، n جريان و C جزء وجود داشته باشد، آنگاه شرط آن به صورت زير نوشته ميشود [12]:
که در آن، xjk، عيار جزء k در جريان j و aij، کسر جرمي جزء i در جريان j است؛ به عبارت ديگر، از ديدگاه ماتريسي، براي برقراري شروط خطي در اينجا، aij همان ماتريس ارتباط گره و جريان است که مقادير 1، 1- و صفر، روي درايههاي آن قرار ميگيرند. در اينجا، هدف، تعيين مقدار تخمين براي تمام جريانها و عيارها است. در تابع هدف، از مجموع مربعات وزندار نيز براي نزديک کردن مقادير تخميني به مقادير اندازهگيري شده، استفاده ميشود. به عنوان يک جايگزين ميتوان اين مسئله را براي دبيهاي کلي و دبيهاي فلز در حالت خطي و به طور سادهتر به دست آورد که يکي از اهداف روش کرو است و در قسمت فوق نيز به آن اشاره شد.
در اين حالت، دبي فلز به صورت رابطهي زير تعريف ميشود [12]:

که در رابطهي فوق، Njk، دبي فلز يک ترکيب از جزء k و جريان j است. با استفاده از اين تغيير متغير، موازنهي جرم اجزا ميتواند به صورت رابطهي زير نوشته شود [12]:
همچنين معادلات بقاي فلزات نيز به صورت زير نوشته ميشوند [12]:

(1-37)
قسمت سوم رابطهي 1-37، معادله نرمال سازي است. ميتوان ديد، شروط در متغيرهاي جريان، خطي بوده (مانند بقاي جامد) و ميتوانند در حل به کار برده شوند. کرو تابع اصلاح شده اي را براي تلفيق دادههاي دو خطي (اصلاح مقادير دبيهاي جريان و عيارها)، پيشنهاد داد که مجموع مربعات را کمينه ميکند و به شکل زير نوشته ميشود [2]:

(1-38)
از آنجايي که دبيهاي فلزات اندازهگيري نشده است، در اين تابع هدف لازم است، مقادير اندازهگيري شدهي عيارها و فاکتورهاي وزن براي اين متغير مورد استفاده قرار ميگيرد. در واقع دبي يک فلز Njk با اندازهگيري هر دو مقدار جريان Fj و عيار xjk، به دست خواهد آمد. فاکتور وزن ميتواند، وارون ماتريس واريانس خطاي اندازهگيري باشد. يک تخمين از واريانس خطاي دادهي به دست آمده، (N ?_jk)، با استفاده از خطي سازي بخشهاي اندازهگيري شدهي دبي و عيار صورت خواهد گرفت [2]:
(1-39)
واريانس خطاي N ?_jk با قانون جمع خطي مستقل متغيرهاي پيرو توزيع نرمال به دست ميآيد: [2]:
(1-40)
فاکتور وزن WNjk را ميتوان از معکوس نمودن ماتريس واريانس رابطهي فوق به دست آورد، انتخاب تابع هدف اصلاح شده براي تلفيق دادهها ميتواند به مقدار بيشتري مقادير اندازهگيري شده را مورد اصلاح قرار دهد. به هر حال، تابع هدف اصلاح شده، تلاش غير مستقيم براي کمينه کردن و اصلاح کلي متغيرهاي اندازهگيري شده دارد. تابع هدف معرفي شده کرو در رابطهي1-38، با شروط معرفي شده در روابط 1-36 و 1-37، مشروط ميشود و مسئلهي تلفيق



قیمت: تومان


دیدگاهتان را بنویسید